Начал заниматься музыкой самостоятельно в 13 лет; спустя три года поступил в училище при Московской консерватории. Высшее образование получил в Российской Академии музыки им. Гнесиных, где учился по классу специального фортепиано у профессора А. Александрова. В числе его учителей по композиции — А. Шнитке и Р. Леденев, по дирижированию — Ю. Симонов и М. Эрмлер. С 1990 г. по настоящее время является постоянным партнером Народного артиста России Д. Хворостовского на всех крупнейших сценах мира. С Д. Хворостовским им также записаны три диска на фирме Philips Classics. С 1992 по 1999 год Михаил Аркадьев — заведующий кафедрой фортепиано Академии Хорового искусства в Москве, с 1999 года — доцент кафедры специального фортепиано Российской Академии музыки им. Гнесиных. С 1989 года является музыкальным директором и постоянным участником фестиваля фортепианной и камерной музыки «Русские вечера» в Германии (г. Морзум).

В 1995 году, в Лионе (Франция) состоялась мировая премьера и запись на диск его «Мессы» для хора и органа, на латинские тексты.

Как пианист работал с такими дирижерами как В. Федосеев, Ю. Симонов, Р. Кофман, Вл. Понькин, С. Скрипка.

С 1998 года Михаил Аркадьев является приглашенным дирижером в различных симфонических оркестрах и оперных театрах. Работал с такими оркестрами как Бразильский симфонический оркестр, Государственный академический оркестр Московской филармонии, Государственный академический Большой симфонический оркестр им. П. И. Чайковского, симфонический оркестр Петербургской капеллы, оркестр Саратовской филармонии и др.; работает в оперных театрах Москвы, Перми, Волгограда.

С 2002 года является главным дирижером и музыкальным руководителем Государственного театра «Волгоградская оперная антреприза».